投稿一覧
タグで絞り込み中: #数学
タグを解除
表示件数: 2 件（条件: タグ: #数学）
-
解答
次の自然な完全列がある： \[ \mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0 : \text{exact} \] この完全列に関手\(-\otimes_A M\) を作用させると、この関手の右完全性から \[ \mathfrak{a}\otimes_A M \to A\otimes_A M \to (A/\mathfrak{a})\otimes_A M \to 0 : \text{exact} \] なので、 \begin{align} (A/\mathfrak{a})\otimes_A M &\cong (A \otimes_A M)/\operatorname{Ker}(A\otimes_A M \to (A/\mathfrak{a})\otimes_A M)\\ &\cong (A \otimes_A M)/\operatorname{Im}(\mathfrak{a}\otimes_A M \to A \otimes_A M)\\ &\cong M/\operatorname{Im}(\mathfrak{a}\otimes_A M \to A \otimes_A M)\\ &\cong M/\mathfrak{a}M \end{align} -
解答
Bezout の定理より, ある \(a, b \in \mathbb{Z}\) が存在し、\(am + bn = 1\) を満たす。 \( x \otimes y \in \left( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \right) \otimes_{\mathbb{Z}} \left( \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \right) \) に対して、 \begin{align} x \otimes y &= 1 \cdot \left( x \otimes y \right) \\ &= \left( am + bn \right) \cdot \left( x \otimes y \right) \\ &= am\left( x \otimes y \right) + bn\left( x \otimes y \right) \\ &= \left( amx \right) \otimes y + x \otimes \left( bny \right) \\ &= 0 \otimes y + x \otimes 0\\ &= 0. \end{align} なのでOK。