解答

次の自然な完全列がある： \[ \mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0 : \text{exact} \] この完全列に関手\(-\otimes_A M\) を作用させると、この関手の右完全性から \[ \mathfrak{a}\otimes_A M \to A\otimes_A M \to (A/\mathfrak{a})\otimes_A M \to 0 : \text{exact} \] なので、 \begin{align} (A/\mathfrak{a})\otimes_A M &\cong (A \otimes_A M)/\operatorname{Ker}(A\otimes_A M \to (A/\mathfrak{a})\otimes_A M)\\ &\cong (A \otimes_A M)/\operatorname{Im}(\mathfrak{a}\otimes_A M \to A \otimes_A M)\\ &\cong M/\operatorname{Im}(\mathfrak{a}\otimes_A M \to A \otimes_A M)\\ &\cong M/\mathfrak{a}M \end{align}