解答

Bezout の定理より, ある \(a, b \in \mathbb{Z}\) が存在し、\(am + bn = 1\) を満たす。 \( x \otimes y \in \left( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \right) \otimes_{\mathbb{Z}} \left( \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \right) \) に対して、 \begin{align} x \otimes y &= 1 \cdot \left( x \otimes y \right) \\ &= \left( am + bn \right) \cdot \left( x \otimes y \right) \\ &= am\left( x \otimes y \right) + bn\left( x \otimes y \right) \\ &= \left( amx \right) \otimes y + x \otimes \left( bny \right) \\ &= 0 \otimes y + x \otimes 0\\ &= 0. \end{align} なのでOK。