$U=\operatorname{Spec}(B)$ を $X=\operatorname{Spec}(A)$ の affine open subscheme とする。
$U$ は quasi compact なので、ある $f \in A$ によって $U = D(f)$ と表せる。affine open subset $D(f)$ の構造環の大域切断は \[\Gamma(D(f),\mathcal{O}_X)\simeq A_f\] であるから、 $B \cong A_f$ 。
$A$-加群 $M$ について \[M\otimes_A A_f \simeq S^{-1}M\quad(S={1,f,f^2,\dots})\] であり，局所化函手 $S^{-1}(-)$ は exact。したがって $- \otimes_A A_f$ は exact で，$A_f$ は $A$ -平坦。
以上より $A\to A_f \overset{\sim}{\to} B$ は平坦。
$U$ は quasi compact なので、ある $f \in A$ によって $U = D(f)$ と表せる。affine open subset $D(f)$ の構造環の大域切断は \[\Gamma(D(f),\mathcal{O}_X)\simeq A_f\] であるから、 $B \cong A_f$ 。
$A$-加群 $M$ について \[M\otimes_A A_f \simeq S^{-1}M\quad(S={1,f,f^2,\dots})\] であり，局所化函手 $S^{-1}(-)$ は exact。したがって $- \otimes_A A_f$ は exact で，$A_f$ は $A$ -平坦。
以上より $A\to A_f \overset{\sim}{\to} B$ は平坦。