https://math.stackexchange.com/q/4746156
での「既約環のWikiの記事は正確なのかどうか？」という Linuxmetel さんの疑問に対する math54321 氏の回答に，
\[
(x) \ltimes E(k)
\]
という半直積で使われる記号が使われた対象が登場したが，これはおそらくイデアル化だとおもわれる。以下では，まず，イデアル化について説明する。
\(R\) を可換環，\(M\) を \(R\) 加群とする。このとき，\(R \oplus M\) は次の演算で環となる：
\[
(a, x) + (b, y) = (a + b, x + y), \quad (a, x)(b, y) = (ab, bx + ay)
\]
この環を \(R\) 上 \(M\) のイデアル化 といい，\(R \ltimes M\) で表す。
注意
写像 \(f : R \rightarrow R \ltimes M , x \mapsto (x, 0)\) と \(p : R \ltimes M \rightarrow R , (x, a) \mapsto x\) は環の準同型である。ここで，\(\operatorname{Ker} p = 0 \times M \) なので，\(0 \ltimes M \) は \(R \ltimes M \) のイデアルであり， \(p\) と \(f\) の合成により \(M\) を \(R \ltimes M\) 加群とみなす。これにより， \(R \ltimes M\) 加群として \(0 \ltimes M\) と \(M\) は同型とみなすことができ，up to iso で \(R \ltimes M\) が \(R\) 上 \(M\) のイデアル化と言えるわけである。
次が正しい。
- \(0 \ltimes M \cong M\) (as \(R \ltimes M\) - \(\operatorname{mod}\) )
- \(R \ltimes 0 \cong R\) (as ring)
- \((0 \ltimes M)^2 \cong 0\) (as \(R \ltimes M\) - \(\operatorname{mod}\))
- \(R \ltimes M \) が ネーター環であるための必要十分条件は，\(R\) がネーターでかつ$R$ 加群 \(M\) が有限生成であることである。
- \(\operatorname{Spec}(R \ltimes M) = \{\mathfrak{p} \times M \ | \ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R) \}\)
1. は前に説明し，2. , 3. , 5. は簡単なので省略し，4. のみ証明する。
\((\Rightarrow)\)：\(R \ltimes M\) がネーター環なら，環の準同型写像 \(p\) により \(R\) もネーター環である。1. より，\(R \ltimes M\) 加群として \(M \cong 0 \ltimes M\) なので \(0 \ltimes M\) の \(R \ltimes M\) 加群としての有限生成性から，\(M\) も \(R \ltimes M\) 加群として 有限生成であることがわかる。
\((\Leftarrow )\)：\(f : R \rightarrow R \ltimes M\) により，\(R \ltimes M\) を \(R\) 加群とみなすと，\(R \ltimes M = R \oplus M\) であるから，これは有限生成である。\(R \ltimes M\) のイデアルも \(R\) 加群とみなすと，それは \(R\) がネーター環であることから \(R\) 加群として有限生成であり，よって\(R \ltimes M\) 加群としても有限生成である。\(R \ltimes M\) の任意のイデアルが有限生成なので \(R \ltimes M\) はネーター環である。
\((\Rightarrow)\)：\(R \ltimes M\) がネーター環なら，環の準同型写像 \(p\) により \(R\) もネーター環である。1. より，\(R \ltimes M\) 加群として \(M \cong 0 \ltimes M\) なので \(0 \ltimes M\) の \(R \ltimes M\) 加群としての有限生成性から，\(M\) も \(R \ltimes M\) 加群として 有限生成であることがわかる。
\((\Leftarrow )\)：\(f : R \rightarrow R \ltimes M\) により，\(R \ltimes M\) を \(R\) 加群とみなすと，\(R \ltimes M = R \oplus M\) であるから，これは有限生成である。\(R \ltimes M\) のイデアルも \(R\) 加群とみなすと，それは \(R\) がネーター環であることから \(R\) 加群として有限生成であり，よって\(R \ltimes M\) 加群としても有限生成である。\(R \ltimes M\) の任意のイデアルが有限生成なので \(R \ltimes M\) はネーター環である。